31数系的扩充与复数的概念及几何意义——王彦文

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 复数的几何意义方法总结素材 新人教A版选修1-2

内容提示:数系的扩充 复数的概念青铜峡一中 王彦文 数系的扩充 复数的概念关于无理数的发现古希腊的 毕达哥拉斯学派 认为, 世间任何数都可以用整数或分数表示, 并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员 希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为突然…

数系的扩充 复数的概念青铜峡一中 王彦文 数系的扩充 复数的概念关于无理数的发现古希腊的 毕达哥拉斯学派 认为, 世间任何数都可以用整数或分数表示, 并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员 希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为 无理数 .无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献. 数系的扩充 复数的概念数系的扩充创设情景,探究问题自然数整数有理数实数?因计数的需要因不够减的需要,引入负数因测量、分配中的等分问题引入分数因计数的需要因不够减的需要,引入负数因测量、分配中的等分问题引入分数( 分数集 有理数集 循环小数集)实数集 小数集 不循环小数循环小数因度量的需要 数系的扩充 复数的概念我们知道一元二次方程 x 2 2 +1=0在实数集范围内无解+1=0在实数集范围内无解 .12= = x我们能否将实数集进行扩充,使得它在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?我们能否将实数集进行扩充,使得它在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?思考?12= = i 引入一个新数: i满足合情推理,类比扩充 数系的扩充 复数的概念数 现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,并且规定:叫做虚数单位,并且规定:( (1 )i 2 =1 ;( (2) )与 实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律包括交换律、结合律和分配律) 仍然成立。引入新数,完善数系 数系的扩充 复数的概念② 复数Z=a+bi (a R, , b R ) 把实数a ,b叫做复数的叫做复数的 实部 和 虚部 。1、 定义 : 形如a+bi (a R ,b R) ) 的数叫 复数,其中i叫 叫 虚数单位 。③ 全体复数所组成的集合叫复数集,记作:C。注意: ①复数通常用字母z 表示,即复数 a+bi ( (a R ,b R) 可记作: z =a+bi (a R ,b R),把这一表示形式叫做),把这一表示形式叫做 复数的代数形式 。复数有关概念 数系的扩充 复数的概念实部 bi a z + =) , ( R b R a 虚部 其中 称为虚数单位。 i复数的分类?讨论观察复数的代数形式当 当a=___ 且b=____ 时,则z=0当 当b=___ 时,则z为实数当为实数当b=___ 时,则z为虚数当为虚数当a=___ 且b___ 时,则z 为纯虚数0 0000 0 数系的扩充 复数的概念练习:指出下面复数的实部与虚部2+i ,-3+0.5i,-2i+ ,20,-i,4 3 2, , , i i i i4 3 2, , , i i i i 数系的扩充 复数的概念2、复数 a+bi0)0 0)0)0 0)ba bba b= =   实数(纯虚数( ,虚数(非纯虚数( ,3.复数集,虚数集,实数集,纯虚数集之间的关系?复数集,虚数集,实数集,纯虚数集之间的关系?思 考?复数集虚数集实数集虚数集实数集纯虚数集C R 复数的分类 数系的扩充 复数的概念1、说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数,帕索斯费雷拉并指出复数的实部与虚部。、说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部。7 2+ 618 . 0i72i 2 9 3( ) 3 1 i2i 5 +80 02、判断下列命题是否正确:(1)若2、判断下列命题是否正确:(1)若a 、 b 为实数,则z=a+bi为虚数(2)若为虚数(2)若b 为实数,则z=bi必为纯虚数(3)若必为纯虚数(3)若a 为实数,则z= a 一定不是虚数即时训练,巩固新知i正确不正确不正确 数系的扩充 复数的概念典例讲解,变式拓展例 例1 当m为何实数时,复数是 (为何实数时,复数是 (1 )实数 ; (2 )虚数 ; (3 )纯虚数;i m m m z ) 1 ( 22 2 + + =变式1:复数 当实数m= 时z为纯虚数;当实数m= 时z为零。i mmm mz ) 1 (1222 ++ += 数系的扩充 复数的概念复数相等的定义根据两个 复数相等 的定义,设 设a, b, c, d R, 两个复数a+bi和 和 c+di 相等规定为 为a+bi = c+dia cb d= =如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个我们就说这两个 复数相等.两个 虚数 不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等只能由定义判断它们相等或不相等。 数系的扩充 复数的概念例 例2 已知 ,其中求已知 ,其中求x 与y?i y y i x ) 3 ( ) 1 2 ( = + R y x ,1、若x , y为实数,且求为实数,且求x , y( ( ) ) i yi x y x 4 22 2+ = + + +解题思考:复数相等的问题复数相等的问题转化求方程组的解的问题求方程组的解的问题一种重要的数学思想: 转化思想 数系的扩充 复数的概念练习1 、复数-5+2i 的实部为____, 虚部为_____.2 、实数m 取什么值时,复数z=m +1-mi 是(1 )实数? (2 )虚数?(3 )纯虚数?3 、已知实数x 与纯虚数y 满足2x-1+2i=y,求 求x,y.4 、已知两个复数x 2 -1+(y+1)i >2x+3+(y 2 -1)i试求实数x,y 的取值范围.2 i2i 数系的扩充 复数的概念1.虚数单位i的引入;2.复数有关概念:的引入;2.复数有关概念:) , ( R b R a bi a z + = 复数的代数形式:复数的实部 、虚部复数相等复数的分类复数的实部 、虚部复数相等复数的分类di c bi a + = +====d bc a课堂小结3 、数学思想方法:转化思想 数系的扩充 复数的概念复数的几何意义 复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴——建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴—— 实轴y轴—— 虚轴(数) (形)—— 复数平面(简称 复平面) )一一对应z=a+bi复数的几何意义(一) 复数 z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应平面向量平面向量OZ 一一对应一一对应一一对应一一对应复数的几何意义(二)xyobaZ(a,b)z=a+bi xOz=a+biy复数的模 的几何意义Z (a,b)2 2b a + =对应平面向量 的模 , ,即复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(即复数z=a+bi在复平面上对应的点Z( a a , , b b )到原点的距离。)到原点的距离。OZOZ z = z z =2 2b a + xoyZ 1 (a,b)Z 2 (c,d)Z(a+c,b+d)Z Z 1 1 + + Z Z 2 2 =OZ 1 +OZ 2 = OZ符合向量加法的符合向量加法的 平行四边形法则.1.复数 加法 运算的几何意义?新课讲解 xoyZ 1 (a,b)Z 2 (c,d)复数z 1 - -z 2 向量Z 2 Z 1符合向量减法的符合向量减法的 三角形法则.2.复数 减法 运算的几何意义? z 1 – z 2 表示什么? 表示复平面上两点Z 1 ,Z 2 2 的距离 (1)z-(1+2i)(2)z+(1+2i)已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.点A到点(1,2)的距离点A到点(-1, -2)的距离 (3)z-1(4)z+2i点A到点(1,0)的距离点A到点(0, -2)的距离 练习:已知复数m=2-3i,若复数z满足不等式z-m=1,则z所对应的点的集合是什么图形?已知复数m=2-3i,若复数z满足不等式z-m=1,则z所对应的点的集合是什么图形?以点(2, -3)为圆心,1为半径的圆上以点(2, -3)为圆心,1为半径的圆上 (1) z 1 1 = z 2 2 平行四边形OABC是平行四边形OABC是(2) z 1 1 + z 2 2 = = z 1 1 – z 2 2 平行四边形OABC是平行四边形OABC是(3) z 1 1 = z 2 2 , z 1 1 + z 2 2 = = z 1 1 – z 2 2 平行四边形OABC是平行四边形OABC是z 1z 2z 1 +z 2oz 2 -z 1ABC菱形矩形正方形3 、复数加减法的几何意义 三、复数加减法的几何意义的运用练习:, 2设 z z 1 1 ,z 2 2 C, z 1 1 = z 2 2 =1z=1z 2 2 +z 1 1 = 求z 2 2 -z 1 1 2

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